如图所示.在矩形ABCD中.AB=12.AC=20.两条对角线相交于点O．以OB.OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C.对角线相交于点A1,再以A1B1.A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C.对角线相交于点O1,再以O1B1.O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1-依此类推．(1)求矩形ABCD的面积,(2)求第1个平行四边形OBB1C.第2个平行四边形和第6� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2009•中山）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB₁C，对角线相交于点A₁；再以A₁B₁、A₁C为邻边作第2个平行四边形A₁B₁C₁C，对角线相交于点O₁；再以O₁B₁、O₁C₁为邻边作第3个平行四边形O₁B₁B₂C₁…依此类推．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求第1个平行四边形OBB₁C，第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．

【答案】分析：（1）直角三角形ABC中，有斜边的长，有直角边AB的长，BC的值可以通过勾股定理求得，有了矩形的长和宽，面积就能求出了．
（2）不难得出OCB₁B是个菱形．那么它的对角线垂直，它的面积=对角线积的一半，我们发现第一个平行四边形的对角线正好是原矩形的长和宽，那么第一个平行四边形的面积是原矩形的一半，依此类推第n个平行四边形的面积就应该是

×原矩形的面积．由此可得出第2个和第6个平行四边形的面积．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB=12
∴∠ABC=90°，BC=

=16
∴S_矩形ABCD=AB•BC=12×16=192．

（2）∵OB∥B₁C，OC∥BB₁，
∴四边形OBB₁C是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四边形OBB₁C是菱形．
∴OB₁⊥BC，A₁B=

BC=8，OA₁=

OB₁=

=6；
∴OB₁=2OA₁=12，
∴S_菱形OBB1C=

BC•OB₁=

×16×12=96；
同理：四边形A₁B₁C₁C是矩形，
∴S_{矩形A1B1C1C}=A₁B₁•B₁C₁=6×8=48；
‥‥‥
第n个平行四边形的面积是：

∴S₆=

=3．
点评：本题综合考查了平行四边形的性质，菱形的性质和勾股定理等知识点的综合运用，本题中找四边形的面积规律是个难点．

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