Question

如图，直线y=kx+b经过A（6，0），B（0，8）两点，且与直线y=

4

3

x交于点C，点P从原点出发，以每秒1个单泣的速度沿y轴向上运动，当点P与B点重合时停止运动．过点P作x轴的平行线，分别交直线OC、AB于D、E两点，以DE为边向下作正方形DEFG，设正方形DEFG与△AOC重叠部分的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．
（1）当t=l时，S=

 

；当t=3时，S=

 

；当t=5时，S

 

；
（2）求t取何值时，S有最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）求出正方形与△ACD重叠部的宽，再与DE相乘即可求出S与t之间的函数关系式．即可得出当t=1，3，5时S的值；
（2）根据（1），分别列出个段的函数关系式，利用二次函数的性质便可得出S的最大值．

解答：解：根据题意，直线y=kx+b经过A（6，0），B（0，8）两点，
即可得出y=-

4

3

x+8，
联立直线y=

4

3

x，
即点C（3，4）；
（1）当t=1时，OP=1，即点D、E是纵坐标为1，又点D在直线y=

4

3

x上
即点D的横坐标为

3

4

，
同理点E的横坐标为

21

4

，
故DE=4.5＞1
此时S=OP•DE=4.5；
同理当t=3时，即有OP=3，点D、E是纵坐标为3，分别代入各直线方程，
即可得出点D（

15

4

，3）、E（

9

4

，3）
即有DE=1.5＜3；
此时S=DE²=2.25；
当t=5时，可得D（

9

4

，5）、E（

15

4

，5）
即DE=1.5，
所以S=DE•（DE-1）=0.75；

（2）当0＜t≤4时，即PO=t，
可得D（

3

4

(8-t)，t），E（

3

4

t，t）
即DE=6-

3

2

t，
当DE=t时，得t=2.4
当t＜2.4时，S=DE•OP=-

3

2

t2+6t=-

3

2

（t-2）²+6
可知当t=2时，S有最大值，S=6；
当2.4≤t≤4时，S=DE²=

9

4

（t-4）²
即当t=2.4时，S有最大值，S=5.76
∴S的最大值为5.76．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，以及学生数形结合的数学思想方法．本题还考查了学生对题意的准确把握，要求学生具备一定的数学计算和分析能力，是一道数学综合性题目．