Question

20．已知直线y=kx+1，经过点A（-3，-2），B（a，2）交y轴于点M
（1）求a的及AM的长；
（2）在x轴的正半轴上确定点P，使得△AMP为等腰三角形，并在图中标明点P的位置并写出坐标；
（3）求出△APB的面积．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入可求出直线的解析式，再把B点坐标代入求出a值，由两点间的距离公式求得AM的值；
（2）使△AMP为等腰三角形，应分三种情况：①AP=MP；②AM=AP；③AM=MP，由勾股定理可求得点P的坐标；
（3）求出直线AB与x轴的交点坐标，由（2）得出分两种情况：
①当点P坐标为（-3+$\sqrt{14}$，0）时，求出PD的长，△APB的面积=△APD的面积+△BPD的面积，即可得出结果；
②当点P坐标为（$\sqrt{17}$，0）时，求出PD的长，△APB的面积=△APD的面积+△BPD的面积，即可得出结果．

解答 解：（1）∵点A（-3，-2）在直线y=kx+1上，
∴-2=-3k+1，
∴k=1，
∴解析式为y=x+1，
把点B（a，2）代入解析式，
得：2=a+1，
∴a=1，
∴点B坐标为（1，2），
令x=0，则y=1，
∴点M的坐标为（0，1），
∴AM=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$；
（2）设P点坐标为（x，0），分三种情况讨论：
①当AP=MP时，
∴（x+3）²+2²=x²+1²，
解得：x=-2，
∴P坐标（-2，0）；
不符合题意，故舍去，
②当AM=AP时，如图1所示：
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{（x+3）^{2}+{2}^{2}}$，
解得：x₁=-3+$\sqrt{14}$，x₂=-3-$\sqrt{14}$（不合题意，舍去），
∴P坐标（-3+$\sqrt{14}$，0）；
③当MP=AM=3$\sqrt{2}$时，如图2所示：
∴（3$\sqrt{2}$）²=x²+1²，
解得：x=±$\sqrt{17}$（负值舍去），
∴点P的坐标为（$\sqrt{17}$，0）；
综上所述：点P的坐标为（-3+$\sqrt{14}$，0）或（$\sqrt{17}$，0）；
（3）设直线AB与x轴的交点为D，
则点D的坐标为（-1，0），
∴OD=1，
分两种情况：
①当点P坐标为（-3+$\sqrt{14}$，0）时，
PD=OD+OP=$\sqrt{14}$-2，
∴△APB的面积=△APD的面积+△BPD的面积=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{14}$-2）×2+$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{14}$-2）×2=2$\sqrt{14}$-4；
②当点P坐标为（$\sqrt{17}$，0）时，PD=OD+OP=$\sqrt{17}$+1，
∴△APB的面积=△APD的面积+△BPD的面积=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{17}$+1）×2+$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{17}$+1）×2=2$\sqrt{17}$+2；
综上所述：△APB的面积为2$\sqrt{14}$-4或2$\sqrt{17}$+2．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形的判定、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，需要进行分类讨论，才能得出结果．