【题目】如图，在
中，
，
，
是
边上点（点与
，
不重合），连结
，将线段绕点
按逆时针方向旋转90°得到线段
，连结
交
于点
，连接
．
（1）求证：
；
（2）当
时，求
的度数；
（3）若
，
，求的长．
【答案】(1)见解析;(2)
;(3)
【解析】
（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）
（2）由△ACD≌△BCE可得∠A=∠CBE=45°，AD=BE=BF，从而可求出∠BEF的度数；
（3）根据∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°，可得△DBE是直角三角形，由勾股定理可求出DE的长，进而可求出CD的长．
（1）证明：由题意可知：
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
（2）∵，
，
∴
，
∵
∴
，AD=BE；
∵
，
∴
，
∴
；
（3）∵，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
是直角三角形，
∴
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
∴
．
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【题目】如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求证：AF=DF．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
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【题目】如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y=
的图象在第一象限的分支过AB的中点D交OB于点E，连接EC，若△OEC的面积为12，则k=_____．
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【题目】关于x的一元二次方程mx2+(2m+1)x+m＝0有两个实数根.
(1)求m的取值范围
(2)是否存在实数m，使方程的两实数根的倒数和为0？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.
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【题目】已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；
（2）如图2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．
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【题目】定义：角的内部一点到角两边的距离比为1：2，这个点与角的顶点所连线段称为这个角的二分线．如图1，点P为∠AOB内一点，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，且PB＝2PA，则线段OP是∠AOB的二分线．
（1）图1中，OP为∠AOB的二分线，PB＝4，PA＝2，且OA+OB＝8，求OP的长；
（2）如图2，正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC中点，证明：DE是∠ADC的二分线；
（3）如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，且∠CAB＜∠CAD，∠BDC＜∠BDA，若AC，BD分别是∠DAB，∠ADC的二分线，证明：四边形ABCD是矩形．
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【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，则△ABD的面积为_____．
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【题目】如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
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