Question

已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点．动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、BD运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜13）．
（1）写出△POD的面积S与t之间的函数关系式，并求出△POD的面积等于9时点P的坐标；
（2）当点P在OA上运动时，连结CP．问：是否存在某一时刻t，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点M处？若存在，请求出t的值并判断此时△CPM的形状；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在AB上运动时，试探索当PO+PD的长最短时的直线PD的表达式．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质得OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，然后分三种情况求解：当0＜t≤6，如图1，OP=t，根据三角形面积公式得S=2t，再求出S=9所对应的t的值，然后写出此时P点坐标；当6＜t≤10，如图2，则AP=t-6，BP=10-t，利用S=S_矩形ABCD-S_△OCD-S_△OAP-S_△BPD得到S=-

3

2

t+21，再求出S=9所对应的t的值，然后写出此时P点坐标；当10＜t＜13，如图3，则PB=13-t，根据三角形的面积公式得S=-2t+26，由于S=9时，计算出t=7.5，而7.5不合题意故舍去；
（2）如图4，E点为AB的中点，根据旋转的性质得PC=PE，在Rt△POC中，利用勾股定理得PC²=t²+4²；在Rt△PAE中，利用勾股定理得到PE²=（6-t）²+2²，则t²+4²=（6-t）²+2²，解方程得t=2；
（3）找到点O关于AB所在直线对称的点的坐标后连接点O的对称点和点D与AB的交点即为点P，然后利用待定系数法确定直线PD的解析式即可．

解答：解：（1）∵矩形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点，
∴OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，
当点P在OA上运动时，即0＜t≤6，如图1，OP=t，S=

1

2

•t•4=2t；
∵S=9，
∴2t=9，解得t=4.5，
∴此时P点坐标为（4.5，0）；
当点P在AB上运动时，即6＜t≤10，如图2，AP=t-6，BP=10-t，S=S_矩形ABCD-S_△OCD-S_△OAP-S_△BPD
=4×6-

1

2

•4×3-

1

2

•6•（t-6）-

1

2

•3•（10-t）
=-

3

2

t+21；
∵S=9，
∴-

3

2

t+21=9，解得t=8，
∴此时P点坐标为（6，2）；
当点P在BD上运动时，即10＜t＜13，如图3，PB=13-t，S=

1

2

•（13-t）•4=-2t+26；
∵S=9，
∴-2t+26=9，解得t=7.5（不合题意舍去）；

（2）存在．
如图4，E点为AB的中点，
∵CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点，
∴PC=PE，
在Rt△POC中，OC=4，OP=t，
∴PC²=OP²+OC²=t²+4²，
在Rt△PAE中，AE=2，PA=6-t，
∴PE²=PA²+AE²=（6-t）²+2²，
∴t²+4²=（6-t）²+2²，解得t=2，
即当t=2s时，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处．

（3）根据题意得：点O关于直线AB的对称点的坐标为O′的坐标为：（12，0），
连接O′D交AB于点P，此时PD+PO最短；
设PD的解析式为y=kx+b，
得：

12k+b=0 3k+b=0

，
解得：

k=- 4 9 b= 16 3

，
故直线PD的表达式为y=-

4

9

x+

16

3

．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质和旋转的性质；会利用勾股定理和三角形的面积公式进行几何计算；理解坐标与图形的性质；学会解决有关动点的问题．