Question

小明的笔记本上有一道二次函数的问题：“抛物线y=x²+bx+c的图象过点A（c，0）且不过原点，…，求证：这个抛物线的对称轴为直线x=3”；题中省略号部分是一段被墨水污没了的内容，无法辨认其中的文字．
（1）根据现有信息，你能否求出此二次函数的解析式？若能，请求出；若不能，请说明理由；
（2）请你把这道题补充完整．

Answer 1

解：（1）既然结论正确，
就可由，若a=1，则b=-6，
∴y=x²-6x+c，
即y=（x-3）²+c-9，
∵图象不经过原点，
所以c≠9，因此根据现有信息要唯一确定这个二次函数解析式是不行的；

（2）可以补充条件：①抛物线与x轴的交点坐标为B（1，0）和C（5，0）；
②抛物线经过点（4，2）并且有最小值1．（答案不唯一）
分析：（1）不能唯一确定这个二次函数解析式，因为抛物线y=x²+bx+c的图象过点A（c，0）且不过原点，所以c²+bc+c=0，c≠0，即得b+c+1=0，再没有其他信息确定，所以不能；
（2）因为这个抛物线的对称轴为直线x=3，所以-=3．由此可以确定a、b、c之间的关系．可以补充能够确定c的条件即可．
点评：此题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．