Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．

（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OD，

∵AD平分∠CAB，

∴∠OAD=∠EAD．

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD．

∴∠ODA=∠EAD．

∴OD∥AE．

∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，

∴EF与⊙O相切．

（2）

解：连接BD，过点D作DG⊥AB于G，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=6，AD=，

∴BD==2，

∵OD=OB=3，

设OG=x，则BG=3﹣x，

∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2，即32﹣x2=22﹣（3﹣x）2，

解得x=，

∴OG=，

∴DG==，

∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，

∴DE=DG=，

∴AE==，

∵OD∥AE，

∴△ODF∽△AEF，

∴，即，

∴，

∴EF=．

【解析】（1）连接OD，由题可知，E已经是圆上一点，欲证CD为切线，只需证明∠ODF=90°即可．
（2）连接BD，作DG⊥AB于G，根据勾股定理求出BD，进而根据勾股定理求得DG，根据角平分线性质求得DE=DG=，然后根据△ODF∽△AEF，得出比例式，即可求得EF的长．