Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（-1，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标．

Answer 1

（1）∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠ACB=90°，
∴∠BAO=∠ACB，
又∵∠AOB=∠COA=90°，
∴△ABO∽△CAO，
∴

OA

OC

=

OB

OA

，即OA²=OB•OC，
∵A（0，2），B（-1，0），即OA=2，OB=1，
∴OC=4，
则C（4，0）；

（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
将A（0，2）代入得：2=-4a，即a=-

1

2

，
则过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2，对称轴为直线x=

3

2

；

（3）连接AP，CP，过P作PQ⊥x轴，交x轴于点Q，
将x=m代入抛物线解析式得：n=-

1

2

m²+

3

2

m+2，
∵OA=2，OC=4，OQ=m，PQ=-

1

2

m²+

3

2

m+4，QC=4-m，
∴S=S_△APC=S_梯形APQO+S_△PQC-S_△AOC=

1

2

×m×（2-

1

2

m²+

3

2

m+4）+

1

2

×（4-m）×（-

1

2

m²+

3

2

m+4）-

1

2

×2×4=-m²+4m+4=-（m-2）²+8，
∵S关于m的二次函数解析式中二次项系数为-1＜0，即抛物线开口向下，
∴当m=2时，S最大值为8，此时P（2，3）．