Question

10、若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a²+b²的最小值是

18

．

Answer 1

分析：设a+b=m，则ab=m+3，以a、b为根构造出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式得出△≥0，求出m的取值范围，再把m的最小值代入a²+b²即可求出其最小值．

解答：解：设a+b=m，则ab=m+3，以a、b为根构造方程得x²-mx+m+3=0，
△=m²-4（m+3）=m²-4m-12≥0，且m＞0，
解得，m≥6，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（m-1）²-7，
当m=6时，
a²+b²可取得最小值为18．
故答案为：18．

点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，设出a+b=m并构造出以a、b为根的一元二次方程是解答此题的关键．