Question

【题目】如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．

（1）求证：△GBE∽△GEF．

（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．

（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣．

【解析】

（1）先判断出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，进而得出∠BGE=∠EGF，即可得出结论；
（2）先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=

，即可得出结论；
（3）分两种情况，①△AGQ∽△CEP时，判断出∠BGE=60°，即可求出BG；
②△AGQ∽△CPE时，判断出EG∥AC，进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出结论．

（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，

∵点E是BC的中点，

∴BE=CE=2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠F'=∠CFE，

在△BEF'和△CEF中，

，

∴△BEF'≌△CEF，

∴BF'=CF，EF'=EF，

∵∠GEF=90°，

∴GF'=GF，

∴∠BGE=∠EGF，

∵∠GBE=∠GEF=90°，

∴△GBE∽△GEF；

（2）∵∠FEG=90°，

∴∠BEG+∠CEF=90°，

∵∠BEG+∠BGE=90°，

∴∠BGE=∠CEF，

∵∠EBG=∠C=90°，

∴△BEG∽△CFE，

∴，

由（1）知，BE=CE=2，

∵AG=x，

∴BG=4﹣x，

∴，

∴CF=，

由（1）知，BF'=CF=，

由（1）知，GF'=GF=y，

∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+

当CF=4时，即：=4，

∴x=3，（0≤x≤3），

即：y关于x的函数表达式为y=4﹣x+（0≤x≤3）；

（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∵△AGQ与△CEP相似，

∴①△AGQ∽△CEP，

∴∠AGQ=∠CEP，

由（2）知，∠CEP=∠BGE，

∴∠AGQ=∠BGE，

由（1）知，∠BGE=∠FGE，

∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，

∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，

∴∠BGE=60°，

∴∠BEG=30°，

在Rt△BEG中，BE=2，

∴BG=，

∴AG=AB﹣BG=4﹣，

②△AGQ∽△CPE，

∴∠AQG=∠CEP，

∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，

∴∠AQG=∠FGE，

∴EG∥AC，

∴△BEG∽△BCA，

∴，

∴，

∴BG=2，

∴AG=AB﹣BG=2，

即：当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣．