Question

【题目】如图,正方形ABCD的对角线相交于O.点M,N分别是边BC,CD上的动点(不与点B,C,D重合),AM,AN分别交BD于E,F两点,且∠MAN=45°,则下列结论:①MN=BM+DN;②△AEF∽△BEM;③;④△FMC是等腰三角形.其中正确的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，根据正方形的性质和且∠MAN=45°可证明MN=BM+DN；根据三角形的内角和得到∠M′+∠AFD=180°，得到∠AFE=∠M′，推出∠AMB=∠AFE，于是得到△AEF∽△BEM，故②正确；根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△FEM，根据相似三角形的性质得到∠EMF=∠ABE=45°，推出△AFM是等腰直角三角形，于是得到；故③正确；根据全等三角形的性质得到AF=CF，等量代换得到△FMC是等腰三角形，故④正确．

解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，

∵∠M′AN=∠DAN+∠MAB=45°，AM′=AM，BM=DM′，

∵∠M′AN=∠MAN=45°，AN=AN，

∴△AMN≌△AM′N′（SAS），

∴MN=NM′，

∴M′N=M′D+DN=BM+DN，

∴MN=BM+DN；故①正确；

∵∠FDM′=135°，∠M′AN=45°，

∴∠M′+∠AFD=180°，

∵∠AFE+∠AFD=180°，

∴∠AFE=∠M′，

∵∠AMB=∠M′，

∴∠AMB=∠AFE，

∵∠EAF=∠EBM=45°，

∴△AEF∽△BEM，故②正确；

∴，即，

∵∠AEB=∠MEF，

∴△AEB∽△FEM，

∴∠EMF=∠ABE=45°，

∴△AFM是等腰直角三角形，

∴；故③正确；

在△ADF与△CDF中，

，

∴△ADF≌△CDF（SAS），

∴AF=CF，

∵AF=MF，

∴FM=FC，

∴△FMC是等腰三角形，故④正确；

故选：D．