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5.已知⊙O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为(  )
A.12B.15C.16D.18

分析 设OC=x,根据垂径定理可得出AC=4,利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程,解方程求出x的值,进而得出OC的长度,再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论.

解答 解:依照题意画出图形,如图所示.
设OC=x,则OA=OD=x+2,
∵OD⊥AB于C,
∴$AC=CB=\frac{1}{2}AB=4$
在Rt△OAC中,OC2+AC2=OA2,即x2+42=(x+2)2
解得x=3,即OC=3,
∵OC为△ABE的中位线,
∴BE=2OC=6.
∵AE是⊙O的直径,
∴∠B=90°,
∴${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}CB•BE=\frac{1}{2}×4×6=12$.
故选A.

点评 本题考查了垂径定理、三角形的中位线以及三角形的面积,解题的关键是求出BE的长度.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据勾股定理找出方程是关键.

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(1)点C的坐标为(3t,4-4t)(用含t的代数式表示);
(2)求证:点E到x轴的距离为定值;
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(2)在整个运动过程中,设Rt△EFG与△ACD的重合部分面积为S,当t$>\sqrt{3}$时,求出满足S=$\frac{2}{3}$S△EFG的相应的t的值;
(3)如图2,当点E恰好落在DC上时,将△EFC绕点F顺时针旋转α°(0<α<180),记旋转中的△EFC为△E′FC′,在旋转过程中,设直线E′C′与直线AC交于N,与直线AB交于M,是否存在这样的M、N两点,使△AMN为等腰三角形?若存在求出此时FN的值;若不存在,请说明理由.

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