【题目】已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点(不与A. B重合),作∠DMN=60,交∠DBA外角平分线于点N.
(1)求证:DM=MN;
(2)若点M在AB的延长线上,其余条件不变,结论“DM=MN”是否依然成立?请你画出图形并证明你的结论.
【答案】(1)见解析 (2)“DM=MN”依然成立,证明见解析
【解析】
(1)在AD上截取AF=AM,证明△DFM≌△MBN即可;
(2)在AD的延长线上截取AF=AM,证明△DFM≌△MBN即可.
(1)如图1,在AD上截取AF=AM,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠A=60°
∴△AMF是等边三角形,
∴∠AFM=60°
∴∠DFM=120°,
∵AB=AD,AM=AF
∴DF=MB,
∵∠ABD=60°
∴∠DBE=120°
∵BN是∠DBA外角平分线
∴∠DBN=60°
∴∠MBN=∠ABD +∠DBN =120°,
∴∠DFM=∠MBN,
∵∠DMN=60°,
∴∠BMN+∠AMD=120°,
∵∠A=60°,
∴∠FDM+∠AMD=120°,
∴∠FDM=∠BMN,
在△FDM和△BMN中,
∴△FDM≌△BMN(ASA),
∴DM=MN.
(2)点M在AB的延长线上,如图2所示,在AD的延长线上截取AF=AM,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠A=60°
∴△AMF是等边三角形,
∴∠DFM=60°,
∵AF=AM,AD=AB
∴DF=MB,
∵∠ABD=60°
∴∠DBE=120°
∵BN是∠DBA外角平分线
∴∠MBN=60°,
∴∠DFM=∠MBN,
∵∠BMN=∠AMD+∠DMN,∠FDM=∠A+∠AMD,
∠DMN=∠A=60°,
∴∠FDM=∠BMN,
在△FDM和△BMN中,
∴△FDM≌△BMN(ASA),
∴DM=MN.
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【题目】(1)如图①,若AB∥CD,求∠B+∠D+∠E1的度数?
(2)如图②,若AB∥CD,求∠B+∠D+∠E1+∠E2的度数?
(3)如图③,若AB∥CD,求∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3的度数?
(4)如图④,若AB∥CD,猜想∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠En的度数?
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【题目】如图,在中,平分.
(1)若为线段上的一个点,过点作交线段的延长线于点
①若,,则 ;
②猜想与、之间的数量关系,并给出证明.
(2)若在线段的延长线上,过点作交直线于点.请你做出示意图,直接写出与、的数量关系.
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【题目】在△ABC中,已知∠A=α.
(1)如图1,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D.
①当α=70°时,∠BDC度数= 度(直接写出结果);
②∠BDC的度数为 (用含α的代数式表示);
(2)如图2,若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F,求∠BFC的度数(用含α的代数式表示).
(3)在(2)的条件下,将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC,∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M(如图3),求∠BMC的度数(用含α的代数式表示).
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【题目】去冬今春,我市部分地区遭受了罕见的旱灾,“旱灾无情人有情”.某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件.
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件?
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件.则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来;
(3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费400元,乙种货车每辆需付运费360元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?
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【题目】如图(1),平面直角坐标系中,点A、B分别在x、y轴上,点B的坐标为(0,1),∠BAO=30°.
(1)求AB的长度;
(2)以AB为一边作等边△ABE,作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点,求证:BD=OE;
(3)在(2)的条件下,连接DE交AB于F,求证:F为DE的中点.
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【题目】如图,抛物线,其顶点坐标为,抛物线与x轴的一个交点为,直线与抛物线交于A,B两点,下列结论:,,方程有两个相等的实数根,抛物线与x轴的另一个交点是,当时,有其中正确结论的个数是
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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