Question

12．在平面直角坐标系中，已知点A（0，-3），点B（m，1），C（m+4，1）；
（1）△ABC的面积；
（2）若点P（0，m）在x轴下方，是否存在m使得∠BPC=90°？若存在，求n的取值；若不存在，说明理由；
（3）若⊙Q过点B、C且与过A平行于x轴的直线相切，求⊙Q的半径；
（4）直接写出sin∠BAC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意得出BC∥x轴，BC=4，△ABC中BC边上的高=4，即可求出△ABC的面积；
（2）由题意得出m＜0，B在第二象限，则BD=-m，CD=4+m，PD=1-m，由射影定理得出方程，由△＜0，得出方程2m²+2m+1=0无实数根，即可得出结论；
（3）作QM⊥BC于M，由垂径定理得出BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=2，由切线的性质得出QM=4-R，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（4）当∠BAC最大时，sin∠BAC的值最大，此时y轴是BC的垂直平分线，则BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2，AD=4，由勾股定理求出AB=AC=2$\sqrt{5}$，作BN⊥AC与N，由△ABC的面积求出BN，再由三角函数即可得出sin∠BAC的最大值．

解答 解：（1）∵A（0，-3），点B（m，1），C（m+4，1），
∴BC∥x轴，BC=4，△ABC中BC边上的高=1+3=4，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
（2）若点P（0，m）在x轴下方，不存在m使得∠BPC=90°；理由如下：
∵点P（0，m）在x轴下方，
∴m＜0，则B在第二象限，如图1所示：
则BD=-m，CD=4+m，PD=1-m，
∵BC∥x轴，
∴∠CDP=90°，
若∠BPC=90°，由射影定理得：PD²=BD•CD，
即（1-m）²=-m（4-m），
整理得：2m²+2m+1=0，
∵△=2²-4×2×1＜0，
∴方程2m²+2m+1=0无实数根，
∴若点P（0，m）在x轴下方，不存在m使得∠BPC=90°；
（3）若⊙Q过点B、C且与过A平行于x轴的直线相切，如图2所示：
作QM⊥BC于M，则BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=2，
设⊙Q的半径为R，则QM=4-R，BQ=R，
由勾股定理得：BM²+（4-R）²=R²，
解得：R=$\frac{5}{2}$，
即⊙Q的半径为$\frac{5}{2}$；
（4）sin∠BAC的最大值为$\frac{4}{5}$；理由如下：
当∠BAC最大时，sin∠BAC的值最大，此时y轴是BC的垂直平分线，如图3所示：
则BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2，AD=1+3=4，AB=AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
作BN⊥AC与N，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BN=8，
即$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×BN=8，
解得：BN=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴sjn∠BAC=$\frac{BN}{AB}$=$\frac{\frac{8\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，
即sin∠BAC的最大值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、切线的性质、勾股定理、射影定理、一元二次方程根的判别式、三角形面积的计算以及三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，需要通过作辅助线运用垂径定理和勾股定理才能得出结果．