Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.

(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；

(2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）证明见解析.

【解析】

（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；

（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．

解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，

∴CA＝CD，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，

∵CA＝DA，

∴∠ACD＝∠ADC＝（180°30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，

∴∠CDE＝75°60°＝15°；

（2）证明：如图2，

∵点F是边AC中点，

∴BF＝AC，

∵∠BAC＝30°，

∴BC＝AC，

∴BF＝BC，

∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，

∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，

∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，

∴BE＝AB，

∵点F为△ACD的边AC的中点，

∴DF⊥AC，

易证得△AFD≌△CBA，

∴DF＝BA，

∴DF＝BE，

而BF＝DE，

∴四边形BEDF是平行四边形．