分析 (1)作OF⊥CD于F,连接OD,由垂径定理得出FD=CF=$\frac{1}{2}$CD,求出EF的长,证得△EFO为等腰直角三角形,得出OF=EF=2,由勾股定理求得OD的长,即可求得AB的长;(2)同(1)求出FD=CF=$\frac{1}{2}$CD、EF=CF-CE、OF、OD的长,代入即可得出结果.
解答 解:(1)作OF⊥CD于F,连接OD,如图所示:
∵CE=6,DE=10,
∴CD=16,
由垂径定理得:FD=CF=$\frac{1}{2}$CD=8,
∴EF=CF-CE=8-6=2,
∵∠DEB=45°,
∴△EFO为等腰直角三角形,
∴OF=EF=2,
由勾股定理得:OD=$\sqrt{O{F}^{2}+F{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$,
∴AB=2OD=2×2$\sqrt{17}$=4$\sqrt{17}$;
(2)∵CE=m,DE=n,
∴CD=m+n,
由垂径定理得:FD=CF=$\frac{1}{2}$CD,EF=CF-CE=$\frac{1}{2}$(m+n)-m=$\frac{n-m}{2}$,
∴OF=$\frac{n+m}{2}$,
∴OD=$\sqrt{D{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{m+n}{2})^{2}+(\frac{n-m}{2})^{2}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}}$,
∴$\frac{C{E}^{2}+D{E}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{(2OD)^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{(2×\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}})^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2({m}^{2}+{n}^{2})}$=$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握垂径定理,运用勾股定理进行计算是解决问题的关键,本题有一定难度.
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