设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．
解：设x=0，
则x3＜x2+x+2．①
设x=10，则有x3=1000，x2+x+2=112，
所以x3＞x2+x+2．②
设x=100，则有x3＞x2+x+2．
观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．
那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．
为此，设x3=x2+x+2，则
x3-x2-x-2=0，
（x3-x2-2x）+（x-2）=0，
（x-2）（x2+x+1）=0．
因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样
（1）当x=2时，x3=x2+x+2；
（2）当0＜x＜2时，因为
x-2＜0，x2+x+1＞0，
所以（x-2）（x2+x+1）＜0，
即x3-（x2+x+2）＜0，
所以x3＜x2+x+2．
（3）当x＞2时，因为
x-2＞0，x2+x+1＞0，
所以（x-2）（x2+x+1）＞0，
即x3-（x2+x+2）＞0，
所以x3＞x2+x+2．
综合归纳（1），（2），（3）就得到本题的解答．
分析：分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．然后做减法，因式分解后，讨论得解．
点评：本题考查因式分解的应用，关键是找到比较大小的临界点，然后讨论求解．
