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18.已知,在△ABC中,点D、E在边AB上,且AD=AC,BE=BC.
①当∠ACB=90°时,如图1,求∠DCE的度数?
②当∠ACB=α时,如图2,则∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$α;
③在①的条件下,CE=CD,M为∠DCE内部射线上一点,如图3,当点M关于CE,CD对称点均在直线ED上时,判断此时△EDM的形状,请证明你的结论.

分析 (1)先用等腰三角形的性质和三角形的内角和得出,∠ACD=$\frac{1}{2}$(180°-∠A),∠BCE=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)进而得出90°+$\frac{1}{2}$∠ACB-∠DCE=∠ACB即:∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB=45°;
(2)同(1)的方法得出结论即可;
(3)先利用对称性得出CP=CQ,∠PCE+∠QCD=45°,由于点M关于CE,CD对称点均在直线ED上,即可得出∠CPQ=∠CQP=45°,进而判断出△CPE≌△CQD即可得出CM是DE的垂直平分线上即可得出结论.

解答 解:(1)∵AD=AC,BC=BE,
∴∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC,
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)
∠BCE=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)
∴∠ACD+∠BCE-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$(∠A+∠B)-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB)-∠DCE=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB-∠DCE=∠ACB,
∴∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB=45°.
(2)∵AD=AC,BC=BE,
∴∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC,
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)
∠BCE=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)
∴∠ACD+∠BCE-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$(∠A+∠B)-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB)-∠DCE=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB-∠DCE=∠ACB,
∴∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}α$.
(3)△EDM等腰三角形,
理由:如图3,作出点M关于CE的对称点P,
∴∠PCE=∠MCE,CP=CM.
作出点M关于CD的对称点Q,
∴∠QCD=∠MCD,CQ=CM,
∴CP=CQ,
由(1)知,∠DCE=45°,
∴∠PCE+∠QCD=∠MCE+∠MCD=45°,
∴∠PCQ=∠PCE+∠DCE+∠QCD=90°,
∵点M关于CE,CD对称点均在直线ED上,
∴∠CPQ=∠CQP=45°,
∴点P,E,D,Q在同一条直线上,
∵CE=CD,
∴∠CED=∠CDE,
∴∠CEP=∠CDQ,
在△CPE和△CQD中,$\left\{\begin{array}{l}{∠CPQ=∠CQP=45°}\\{∠CEP=∠CDQ}\\{CE=CD}\end{array}\right.$,
∴△CPE≌△CQD,
∴∠PCE=∠QCD,
∴∠PCE=∠MCE=∠DCM=∠QCD,
∴∠ECM=∠DCM,
∵CE=CD,
∴CM垂直平分ED,
∴ME=MD,
∴△MDE是等腰三角形.

点评 此题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,对称的性质,线段的垂直平分线的性质,全等三角形的判定和性质,解本题的关键是得出∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB,判定△CPE≌△CQD,是解本题的难点.

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