如图,在平面直角坐标系中,点A(0,6),点B是x轴上的一个动点,连结AB,取AB的中点M,将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°,得到线段BC过点B作x轴的垂线交直线AC于点D设点B坐标是(t,0).
(1)当t=4时,求直线AB的解析式;
(2)当t>0时,用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积;
(3)是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点B的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)当t=4时,B(4,0) 设直线AB的解析式为y=kx+b. 把A(0,6),B(4,0)代入得: ,解得:, ∴直线AB的解析式为:y=-x+6. 4分 (2)过点C作CE⊥x轴于点E 由∠AOB=∠CEB=90°,∠ABO=∠BCE,得△AOB∽△BEC ∴, ∴BE=AO=3,CE=OB=, ∴点C的坐标为(t+3,). 6分 方法一: S梯形AOEC=OE·(AO+EC)=(t+3)(6+)=t2+t+9, S△AOB=AO·OB=×6·t=3t, S△BEC=BE·CE=×3×=t, ∴S△ABC=S梯形AOEC-S△AOB-S△BEC =t2+t+9-3t-t=t2+9. 方法二: ∵AB⊥BC,AB=2BC,∴S△ABC=AB·BC=BC2. 在Rt△ABC中,BC2=CE2+BE2=t2+9, 即S△ABC=t2+9. 8分 (3)存在,理由如下: ①当t≥0时. Ⅰ.若AD=BD 又∵BD∥y轴 ∴∠OAB=∠ABD,∠BAD=∠ABD, ∴∠OAB=∠BAD 又∵∠AOB=∠ABC, ∴△ABO∽△ACB, ∴, ∴=, ∴t=3,即B(3,0). Ⅱ.若AB=AD 延长AB与CE交于点G, 又∵BD∥CG ∴AG=AC 过点A画AH⊥CG于H. ∴CH=HG=CG 由△AOB∽△GEB, 得, ∴GE=. 又∵HE=AO=6,CE= ∴+6=×(+) ∴t2-24t-36=0 解得:t=12±6.因为t≥0, 所以t=12+6,即B(12+6,0). Ⅲ.由已知条件可知,当0≤t<12时,∠ADB为钝角,故BD≠AB 当t≥12时,BD≤CE<BC<AB ∴当t≥0时,不存在BD=AB的情况. ②当-3≤t<0时,如图,∠DAB是钝角.设AD=AB, 过点C分别作CE⊥x轴,CF⊥y轴于点E,点F. 可求得点C的坐标为(t+3,), ∴CF=OE=t+3,AF=6-, 由BD∥y轴,AB=AD得, ∠BAO=∠ABD,∠FAC=∠BDA,∠ABD=∠ADB ∴∠BAO=∠FAC, 又∵∠AOB=∠AFC=90°, ∴△AOB∽△AFC, ∴, ∴, ∴t2-24t-36=0 解得:t=12±6.因为-3≤t<0, 所以t=12-6,即B(12-6,0). ③当t<-3时,如图,∠ABD是钝角.设AB=BD, 过点C分别作CE⊥x轴,CF⊥y轴于点E,点F, 可求得点C的坐标为(t+3,), ∴CF=(t+3),AF=6-, ∵AB=BD,∴∠D=∠BAD. 又∵BD∥y轴, ∴∠D=∠CAF, ∴∠BAC=∠CAF. 又∵∠ABC=∠AFC=90°,AC=AC, ∴△ABC≌△AFC, ∴AF=AB,CF=BC, ∴AF=2CF,即6-=-2(t+3), 解得:t=-8,即B(-8,0). 综上所述,存在点B使△ABD为等腰三角形,此时点B坐标为: B1(3,0),B2(12+6,0),B3(12-6,0),B4(-8,0). 14分 |
科目:初中数学 来源: 题型:
BD |
AB |
5 |
8 |
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科目:初中数学 来源: 题型:
5 |
29 |
5 |
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科目:初中数学 来源: 题型:
k |
x |
k |
x |
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科目:初中数学 来源: 题型:
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