Question

某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．假设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个．
（1）求果园增种橙子树x（棵）与果园橙子总产量y（个）的函数关系式．
（2）在上述问题中，果园要种多少棵橙子树，就可以使果园橙子的总产量为最多？
（3）增种多少棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上？从计算结果和数学的角度看，你有什么感想（不超过30字）？

Answer 1

分析：（1）根据题意设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式．
（2）利用当x=-

b

2a

时，y_最大=

4ac-b2

4a

求出即可．
（3）根据函数关系式y=-5x²+100x+60000=60420，结合一元二次方程解法得出即可．

解答：解：（1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，
∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，
∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子，
则平均每棵树结（600-5x）个橙子．
∵果园橙子的总产量为y，
∴则y=（x+100）（600-5x）
=-5x²+100x+60000，

（2）∵y=（x+100）（600-5x）
=-5x²+100x+60000，
∴当x=-

b

2a

=-

100

2×(-5)

=10（棵），
y_最大=

4ac-b2

4a

=60500（个）．
故当增种橙树的棵数x取10棵时y的值最大，y的值最大是60500个．

（3）当y=-5x²+100x+60000=60420时，
整理得出：x²-20x+84=0，
（x-16）（x-4）=0，
解得：x₁=16，x₂=4，
∵抛物线对称轴为直线x=10，
∴增种5到15棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上．
通过以上计算可以发现，果园的树木棵数并不是越多越好，产量的多少取决于科学的计算果树的棵数．

点评：此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．