Question

如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．若BD平分∠ABC．
求证：CE=

1

2

BD．

Answer 1

分析：延长CE、BA交于点F．根据等角的余角相等，得∠ABD=∠ACF；再根据ASA可以证明△ABD≌△ACF，则BD=CF；根据ASA可以证明△BCE≌△BFE，则CE=EF，从而证明结论．

解答：证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACF．
在△ABD与△ACF中，

∠ABD=∠ACF AB=AC ∠BAD=∠CAF=90°

，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE=∠FBE．
在△BCE与△BFE中，

∠CBE=∠FBE BE=BE ∠BEC=∠BEF=90°

，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
即CE=

1

2

CF，
∴CE=

1

2

BD．

点评：此题考查了全等三角形的性质和判定；作出辅助线，证明三角形全等是正确解决本题的关键．