Question

如图，P是射线y=

3

5

x上的一动点，以P为圆心的⊙P与y轴相切于C点，与x轴的正半轴交于A、B两点．
（1）若⊙P的半径为5，求点P、A的坐标；
（2）在（1）的条件下，求以点P为顶点，且经过A点的抛物线的解析式；并判定该抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接PA．作PD⊥AB于点E．根据圆的切线的性质可得圆的半径是5，在直角△PAE中，根据勾股定理即可求得AE的长，即可确定A的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把D的坐标代入，即可判断是否在抛物线上．

解答：解：（1）连接PA．作PE⊥AB于点E．
P为圆心的⊙P与y轴相切于C点，⊙P的半径为5．
则P的横坐标是5．
把x=5代入y=

3

5

x得：x=3，
则P的坐标是（5，3）
在直角△PAE中，PA=5，PD=3
∴AE=

PA2-PD2

=4
∴OA=OE-AE=5-4=1
则A的坐标是（1，0）；

（2）设抛物线的解析式是：y=a（x-5）²+3；
把A（1，0）代入得：16a+3=0
解得：a=-

3

16

故抛物线的解析式是：y=-

3

16

（x-5）²+3．
C的坐标是（0，3），则C关于原点的对称点D是（0，-3）．
把D坐标代入抛物线的解析式，不成立，故D不在抛物线上．

点评：本题主要考查了垂径定理，以及切线的性质，待定系数法求函数解析式，是一个圆与抛物线相结合的综合题．