【题目】已知:如图,四边形ABCD为正方形, E为CD边上的一点,连接AE,并以AE为对称轴,作与△ADE成轴对称的图形△AFE,延长EF(或FE)交直线BC于G。
(1)求证:DE+BG=EG;∠EAG=45°;
(2)AB=1,GF=m,FE=n,求m+n+mn的值;
(3)若AB=6,∠BAG=∠CEG,求GE.
【答案】
(1)
解:∵以AE为对称轴,作与△ADE成轴对称的图形△AFE,
∴△ADE≌△AFE,
∴AD=AF=AB,DE=FE,∠DAE=∠FAE,∠D=∠AFE=∠AFG=90°=∠B,
在Rt△ABG和Rt△AFG中,
,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),
∴GB=GF,∠BAG=∠FAG,
∴∠EAG=∠FAE+∠FAG= ∠BAD=45°,
∴GE=GF+EF=BG+DE.
(2)
解:∵AB=1,GF=m,FE=n,则EG=m+n,CG=1-m,CE=1-n,
∵∠C=90°,
∴(1-m)2+(1-n)2=(m+n)2,
整理得:m+n+mn=1.
(3)
解:由(1)可得Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴∠BGA=∠FGA.
∵∠BAG=∠CEG,
∴∠BGA=∠CGE,
∴∠BGA=∠CGE=∠FGA= .
则∠BAG=∠CEG=30°,
∴BG= AB=2
,
∴CG=AB-BG=6-2 ,
∴GE=2CG=12-4 .
【解析】(1)根据HL,Rt△ABG≌Rt△AFG,根据全等三角形的性质,及等量代换可解答;(2)在Rt△CEG中,由勾股定理可得CG2+CE2=EG2 , 将入相应的m,n的代数式,即可求得;(3)易证得到∠BGA=∠CGE=∠FGA= .则∠BAG=∠CEG=30°,再根据含30°角的直角三角形的三边关系,求出相应边的长度.
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【题目】已知是一段圆弧上的两点,有在直线
的同侧,分别过这两点作
的垂线,垂足为
,
是
上一动点,连结
,且
.
(1)如图①,如果,且
,求
的长.
(2)(i)如图②,若点E恰为这段圆弧的圆心,则线段之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.
(ii)再探究:当分别在直线
两侧且
,而其余条件不变时,线段
之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论,不必证明.
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【题目】将关于x的一元二次方程x(x+2)=5化成一般式后,a、b、c的值分别是( )
A.1,2,5B.1,﹣2,﹣5C.1,﹣2,5D.1,2,﹣5
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【题目】如果两个锐角的和等于90°,就称这两个角互为余角。类似可以定义:如果两个角的差的绝对值等于90°,就可以称这两个角互为垂角,例如:∠l=120°,∠2=30°,|∠1-∠2|=90°,则∠1和∠2互为垂角(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角).
(1)如图,0为直线AB上一点,OC丄AB于点O,OE⊥OD于点O ,请写出图中所有互为垂角的角有_____________;
(2)如果有一个角的互为垂角等于这个角的补角的,求这个角的度数.
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【题目】请根据图中提供的信息,回答下列问题
(1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元?
(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯,为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,甲商场规定: 这两种商品都打九折;乙商场规定:买一个暖瓶赠送一个水杯。若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯,请问选择哪家商场购买更合算,并说明理由.
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