分析 分两种情况:①过A′作MN∥CD交AD于M,交BC于N,则直线MN是矩形ABCD 的对称轴,得出AM=BN=$\frac{1}{2}$AD=1,由勾股定理得到A′N=0,求得A′M=1,再由勾股定理解得A′E即可;
②过A′作PQ∥AD交AB于P,交CD于Q;求出∠EBA′=30°,由三角函数求出AE=A′E=A′B×tan30°;即可得出结果.
解答 解:分两种情况:
①如图1,过A′作MN∥CD交AD于M,交BC于N,
则直线MN是矩形ABCD 的对称轴,
∴AM=BN=$\frac{1}{2}$AD=1,
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE,
∴A′E=AE,A′B=AB=1,
∴A′N=$\sqrt{A′{B}^{2}-B{N}^{2}}$=0,即A′与N重合,
∴A′M=1,
∴A′E2=EM2+A′M2,
∴A′E2=(1-A′E)2+12,
解得:A′E=1,
∴AE=1;
②如图2,过A′作PQ∥AD交AB于P,交CD于Q,
则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴,
∴PQ⊥AB,AP=PB,AD∥PQ∥BC,
∴A′B=2PB,
∴∠PA′B=30°,
∴∠A′BC=30°,
∴∠EBA′=30°,∴AE=A′E=A′B×tan30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
综上所述:AE的长为1或$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
故答案为:1或$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题考查了翻折变换-折叠问题,矩形的性质,勾股定理;正确理解折叠的性质是解题的关键.
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