【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,以CD为直径的⊙O分别交AC,BC于点E,F两点,过点F作FG⊥AB于点G.
(1)试判断FG与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=3,CD=2.5,求FG的长.
【答案】(1)FG与⊙O相切,理由见解析;(2)FG=.
【解析】
(1)如图,连接OF,根据直角三角形斜边中线的性质可得CD=BD,即可得到∠DBC=∠DCB,根据等腰三角形的性质得到∠OFC=∠OCF,可得∠OFC=∠DBC,即可证明OF//DB,根据平行线的性质可推出∠OFG=90°,即可得到结论;
(2)连接DF,根据勾股定理得到BC==4,根据圆周角定理得到∠DFC=90°,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得BF=BC=2,根据三角函数的定义即可得到结论.
(1)FG与⊙O相切,
理由:如图,连接OF,
∵∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=BD,
∴∠DBC=∠DCB,
∵OF=OC,
∴∠OFC=∠OCF,
∴∠OFC=∠DBC,
∴OF∥DB,
∴∠OFG+∠DGF=180°,
∵FG⊥AB,
∴∠DGF=90°,
∴∠OFG=90°,
∴FG与⊙O相切.
(2)连接DF,
∵CD=2.5,
∴AB=2CD=5,
∵AC=3,
∴BC==4,
∵CD为⊙O的直径,
∴∠DFC=90°,
∴FD⊥BC,
∵DB=DC,
∴BF=BC=2,
∵sin∠ABC=,
即,
∴FG=.
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【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,有下列结论:①∠EBG=45°;②S△ABG=S△FGH;③△DEF∽△ABG;④AG+DF=FG.其中正确的是_____.(把所有正确结论的序号都选上)
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【题目】问题提出(1)如图①,在△ABC中,BC=6,D为BC上一点,AD=4,则△ABC面积的最大值是 .
问题探究(2)如图②,已知矩形ABCD的周长为12,求矩形ABCD面积的最大值.
问题解决(3)如图③,△ABC是葛叔叔家的菜地示意图,其中AB=30米,BC=40米,AC=50米,现在他想利用周边地的情况,把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地,用来建鱼塘.已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD,且满足∠ADC=60°.你认为葛叔叔的想法能否实现?若能,求出这个四边形鱼塘周长的最大值;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,已知△ABC 的顶点分别为 A(-2,2)、B(-4,5)、C(-5,1)和直线 m (直线 m 上各点的横坐标都为 1).
(1)作出△ABC 关于 轴对称的图形△A1B1C1,并写出点 A1 的坐标;
(2)作出点 C关于直线 m 对称的点C2 , 并写出点C2 的坐标;
(3)在轴上找一点P,使 PA+PC的值最小,请直接写出点P的坐标.
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【题目】某中学为了丰富学生的课余生活,计划购买排球和篮球供球类兴趣小组活动使用,若购买4个篮球和3个排球需用94元;若购买16个篮球和5个排球需用306元;
(1)求一个篮球和一个排球各多少元;
(2)该中学决定购买排球和篮球共40个,总费用不超过550元,那么该中学至少可以购买多少个排球?
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【题目】下列每个图形都是由一些黑点和一些白点按一定的规律组成的.
(1)根据规律,第4个图中有 个白点;第个图形中,白点和黑点总数的和为 (用表示,为正整数);
(2)有没有可能黑点比白点少2020个,如果有,求出此时的值;如果没有,请说明理由.
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【题目】如图,∠ACB=90°,AC=BC,CD平分∠ACB,点D,E关于CB对称,连接EB并延长,与AD的延长线交于点F,连接DE,CE.对于以下结论:
①DE垂直平分CB;②AD=BE;③∠F不一定是直角;④EF2+DF2=2CD2.
其中正确的是( )
A.①④B.②③C.①③D.②④
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