Question

8．如图，直线y=k₁x+b₁与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象及坐标轴依次相交于A、B、C、D四点，且点A坐标为（-3，$\frac{1}{2}$），点B坐标为（1，n）．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求证：AC=BD；
（3）若将一次函数的图象上下平移若干个单位后得到y=k₁x+n，其与反比例函数图象及两坐标轴的交点仍然依次为A、B、C、D．（2）中的结论还成立吗？请写出理由，对于任意k＜0的直线y=kx+b．（2）中的结论还成立吗？（请直接写出结论）

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出直线解析式和反比例函数解析式；
（2）确定出点A，B，C，D，坐标，利用两点间距离公式求解得AC=BD；
（3）①确定出点A，B，C，D，坐标，利用两点间距离公式求解得AC=BD；
②确定出点A，B，C，D，坐标，利用两点间距离公式求解得AC=BD；

解答 解：（1）∵点A坐标为（-3，$\frac{1}{2}$），且在反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象上，
∴k₂=xy=-3×$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴反比例函数的解析式为：y=-$\frac{3}{2x}$；
∵点B坐标为（1，n），且在反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象上，
∴n=-$\frac{3}{2}$，
∴点B坐标为（1，-$\frac{3}{2}$）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+{b}_{1}=-\frac{3}{2}}\\{-3{k}_{1}+{b}_{1}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{b}_{1}=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x-1；

（2）∵当x=0时，y=-1，则点D的坐标为：（0，-1）；
当y=0时，x=-2，则点C的坐标为：（-2，0）；
∴AC=$\sqrt{[-3-（-2）]^{2}+（\frac{1}{2}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BD=$\sqrt{（0-1）^{2}+[-1-（-\frac{3}{2}）]^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AC=BD；

（3）①成立，
理由：∵将一次函数的图象上下平移若干个单位后得到y=k₁x+n，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+n，
∴C（2n，0），D（0，n），
∵反比例函数的解析式为：y=-$\frac{3}{2x}$和一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+n，
∴它两的交点坐标为A（n+$\sqrt{{n}^{2}+3}$，$\frac{1}{2}（n-\sqrt{{n}^{2}+3}）$），B（n-$\sqrt{{n}^{2}+3}$，$\frac{1}{2}（n+\sqrt{{n}^{2}+3}）$），
∴AC=$\sqrt{（n-\sqrt{{n}^{2}+3}）^{2}+（\frac{1}{2}（n-\sqrt{{n}^{2}+3}）^{2}}$，
BD=$\sqrt{（n-\sqrt{{n}^{2}+3}）^{2}+（\frac{1}{2}（n-\sqrt{{n}^{2}+3}）^{2}}$，
∴AC=BD
②AC=BD，
理由：同①的方法求出直线y=kx+b与x，y轴的交点坐标C（-$\frac{b}{k}$，0），D（0，b），
联立直线解析式和反比例函数解析式y=-$\frac{3}{2x}$求出交点坐标A（$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-6k}}{2k}$，b+$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-6k}}{2}k$），B（$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-6k}}{2k}$，b+$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-6k}}{2}k$），
用平面坐标系内，两点间的距离公式求解得，AC=BD．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间距离公式，解本题的关键求出直线和反比例函数的交点坐标．难点是用两点间距离公式求解AC，BD．