Question

12．已知P为⊙O外一点，割线PAB依次交⊙O于点A、B，割线PCD依次交⊙O于点C、D，AD、BC交于点E，且2∠PDA+∠P=90°，
（1）如图1，求证：AD⊥BC；
（2）如图2，连接OD、BD、AC，若AD平分∠ODC，求证：AD=BD；
（3）在（2）的条件下，若OD=5，PA=$\frac{15}{4}$，求四边形ABDC的面积

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠D+∠B+∠P=90°，根据外角的性质得到∠D+∠DCE=90°，由垂直的定义即可得到结论；
（2）如图2，延长DO交⊙O于G，根据角平分线的定义得到∠CDA=∠ADG，根据余角的性质得到∠DAB=∠G，等量代换得到∠DAB=∠ABD，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（3）如图，过点O作OM⊥AD于点M，交CD于点H，连接AH．根据角平分线的性质得到DH=OD=5，由垂径定理可知OH垂直平分AD，于是得到AH=DH=OD=5，AM=DM，推出∠PAH=90°，得到PA=$\frac{15}{4}$，由（2）可知：∠PHA=∠BDE，根据三角函数的定义设BE=3m，DE=4m，AD=BD=5m，求得AM=DM=$\frac{5m}{2}$，根据勾股定理得到m²=$\frac{18}{5}$，于是得到结论．

解答 解：（1）∵2∠PDA+∠P=90°，∠D=∠B，
∴∠D+∠B+∠P=90°，
∵∠DCE=∠P+∠B，
∴∠D+∠DCE=90°，
∴∠CED=90°，
∴AD⊥BC；
（2）如图2，延长DO交⊙O于G，
∴∠DAG=90°，
∴∠G+∠ADG=90°，
∵AD平分∠ODC，
∴∠CDA=∠ADG，
∵∠ADG=∠ABC，
∵∠DAB+∠ABC=90°，
∴∠DAB=∠G，
∵∠G=∠ABD，
∴∠DAB=∠ABD，
∴AD=BD；
（3）如图，过点O作OM⊥AD于点M，交CD于点H，连接AH．
∵AD平分∠ODC，∴DH=OD=5，
∴由垂径定理可知：OH垂直平分AD，
∴AH=DH=OD=5，AM=DM，
∴∠HDA=∠HAD，
∴∠PHA=2∠HDA，
即：∠PHA=2∠PDA，
∵2∠PDA+∠P=90°，
∴∠PHA+∠P=90°，
∴∠PAH=90°，
∵PA=$\frac{15}{4}$，由（2）可知：∠PHA=∠BDE，
∴tan∠PHA=tan∠BDE=PA：AH=BE：DE=$\frac{15}{4}$：5=3：4，
设BE=3m，则：DE=4m，AD=BD=5m，
∴AM=DM=$\frac{5m}{2}$，
∴AE=AD-DE=m，
∵∠ABE=∠CDE=∠ODM，
∴tan∠ABC=tan∠CDE=tan∠ODM=AE：BE=CE：DE=OM：DM=m：3m=1：3，
∴CE=$\frac{4m}{3}$，OM=$\frac{5m}{6}$，∴BC=BE+CE=$\frac{13m}{3}$，
∵OM²+DM²=OD²，即（$\frac{5m}{6}$）²+（$\frac{5m}{2}$）²=5²，
∴m²=$\frac{18}{5}$，
∴四边形ABDC的面积=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$×5m×$\frac{13m}{3}$=$\frac{65{m}^{2}}{6}$=39．

点评 本题考查了圆周角定理三角函数的定义，三角形的外角的性质，勾股定理，图形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．