Question

2．【课本节选】
反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．当k＞0时，双曲线两个分支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小（简称增减性）；反比例函数的图象关于原点对称（简称对称性）．
这些我们熟悉的性质，可以通过说理得到吗？
【尝试说理】
我们首先对反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的增减性来进行说理．
如图，当x＞0时．
在函数图象上任意取两点A、B，设A（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$），
且0＜x₁＜x₂．
下面只需要比较$\frac{k}{{x}_{1}}$和$\frac{k}{{x}_{2}}$的大小．
$\frac{k}{{x}_{2}}$-$\frac{k}{{x}_{1}}$=$\frac{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，且 k＞0．
∴$\frac{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0．即$\frac{k}{x_2}$＜$\frac{k}{x_1}$．
这说明：x₁＜x₂时，$\frac{k}{{x}_{1}}$＞$\frac{k}{{x}_{2}}$．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了．
即：当x＞0时，y随x的增大而减小．同理，当x＜0时，y随x的增大而减小．
（1）试说明：反比例函数y=$\frac{k}{x}$ （k＞0）的图象关于原点对称．
【运用推广】
（2）分别写出二次函数y=ax² （a＞0，a为常数）的对称性和增减性，并进行说理．
对称性：二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象关于y轴成轴对称；
增减性：当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小．．
说理：①∵在二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象上任取一点Q（m，n），于是n=am²．
∴点Q关于y轴的对称点Q₁（-m，n）．
而n=a（-m）²，即n=am²．
这说明点Q₁也必在在二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象上．
∴二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象关于y轴成轴对称；
②在二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象上任取两点A、B，
设A（m，am²），B（n，an²），且0＜m＜n．
则an²-am²=a（n+m）（n-m），
∵n＞m＞0，
∴n+m＞0，n-m＞0；
∵a＞0，
∴an²-am²=a（n+m）（n-m）＞0，即an²＞am²．
而当m＜n＜0时，n+m＜0，n-m＞0；
∵a＞0，
∴an²-am²=a（n+m）（n-m）＜0．即an²＜am²．
这说明，当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小；．
【学以致用】
（3）对于函数y=x²+$\frac{2}{x}$ （x＞0），
请你从增减性的角度，请解释为何当x=1时函数取得最小值．

Answer 1

分析 （1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上任取一点P（m，n），只需证明点P关于原点的对称点也在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上即可；
（2）①在二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象上任取一点Q（m，n），只需证明点Q关于y轴的对称点也在二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象上，就可得到二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）关于y轴对称；②在二次函数y=ax² （a＞0，a为常数）的图象上任取两点A、B，设A（m，am²），B（n，an²），且0＜m＜n．只需运用分类讨论和作差法就可解决问题；
（3）只需运用作差法分别讨论0＜x＜1或x＞1时函数的增减性，就可解决问题．

解答 解：（1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上任取一点P（m，n），
则mn=k．点P关于原点的对称点为P₁（-m，-n）．
∵（-m）（-n）=mn=k，
∴点P₁也必在这个反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．
∴反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象关于原点对称；

（2）答案分别为：
（对称性）二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象关于y轴成轴对称；
（增减性）当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小．
（说理）①∵在二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象上任取一点Q（m，n），于是n=am²．
∴点Q关于y轴的对称点Q₁（-m，n）．
而n=a（-m）²，即n=am²．
这说明点Q₁也必在在二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象上．
∴二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象关于y轴成轴对称；
②在二次函数y=ax²（a＞0，a为常数）的图象上任取两点A、B，
设A（m，am²），B（n，an²），且0＜m＜n．
则an²-am²=a（n+m）（n-m），
∵n＞m＞0，
∴n+m＞0，n-m＞0；
∵a＞0，
∴an²-am²=a（n+m）（n-m）＞0，即an²＞am²．
而当m＜n＜0时，n+m＜0，n-m＞0；
∵a＞0，
∴an²-am²=a（n+m）（n-m）＜0．即an²＜am²．
这说明，当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小；

（3）在函数图象上任意取两点A、B，设A（x₁，x₁²+$\frac{2}{{x}_{1}}$），B（x₂，x₂²+$\frac{2}{{x}_{2}}$），
且0＜x₁＜x₂．
①当0＜x₁＜x₂＜1时，
则有$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$＞2，x₁+x₂＜2，x₁-x₂＜0，
∴x₁+x₂-$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$＜0，
∴（x₁²+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂²+$\frac{2}{{x}_{2}}$）=x₁²+$\frac{2}{{x}_{1}}$-x₂²-$\frac{2}{{x}_{2}}$=x₁²-x₂²+$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{2{x}_{2}-2{x}_{1}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）＞0，
∴当0＜x＜1时，y随x的增大而减小；
②当1＜x₁＜x₂时，
则有$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$＜2，x₁+x₂＞2，x₁-x₂＜0，
∴x₁+x₂-$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$＞0，
∴（x₁²+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂²+$\frac{2}{{x}_{2}}$）=x₁²+$\frac{2}{{x}_{1}}$-x₂²-$\frac{2}{{x}_{2}}$=x₁²-x₂²+$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{2{x}_{2}-2{x}_{1}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；
∴当x=1时函数取得最小值．

点评 本题主要考查了函数的对称性、增减性、因式分解等知识，运用分类讨论和作差法是解决本题的关键．