Question

（2010•资阳）如图，已知直线l：y=kx+b与双曲线C：y=

m

x

相交于点A（1，3）、B（-

3

2

，2），点A关于原点的对称点为P．
（1）求直线l和双曲线C对应的函数关系式；
（2）求证：点P在双曲线C上；
（3）找一条直线l₁，使△ABP沿l₁翻折后，点P能落在双曲线C上．
（指出符合要求的l₁的一个解析式即可，不需说明理由）

Answer 1

分析：（1）将A与B的坐标代入一次函数解析式中，求出k与b的值，确定出直线l的函数解析式，将A的坐标代入反比例解析式中，求出m的值，即可确定出双曲线解析式；
（2）由P为A关于原点的对称点，由A坐标求出P的坐标，代入反比例解析式中检验即可得证；
（3）由反比例函数关于y=x或y=-x对称，故直线l₁为y=x或y=-x符合题意．

解答：解：（1）将点A、B的坐标代入y=kx+b中，得：

k+b=3 - 3 2 k+b=-2

，
解得：

k=2 b=1

，即直线l的函数解析式为y=2x+1，
将A（1，3）代入反比例解析式得：3=

m

1

，即m=3，
∴双曲线C对应的函数解析式为y=

3

x

；
（2）∵P为A关于原点的对称点，∴P坐标为（-1，-3），
将x=-1代入反比例解析式中，得：y=

3

-1

=-3，即P符合反比例解析式，
则P点在双曲线C上；
（3）直线l₁的解析式为y=x或y=-x．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，关于原点对称点的特点，反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．