【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AD平分∠CAE交⊙O于点D,且AE⊥CD,垂足为点E.
(1)求证:直线CE是⊙O的切线.
(2)若BC=3,CD=3 ,求弦AD的长.
【答案】
(1)证明:连结OC,如图,
∵AD平分∠EAC,
∴∠1=∠3,
∵OA=OD,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠2,
∴OD∥AE,
∵AE⊥DC,
∴OD⊥CE,
∴CE是⊙O的切线;
(2)∵∠CDO=∠ADB=90°,
∴∠2=∠CDB=∠1,∵∠C=∠C,
∴△CDB∽△CAD,
∴ = = ,
∴CD2=CBCA,
∴(3 )2=3CA,
∴CA=6,
∴AB=CA﹣BC=3, = = ,设BD= K,AD=2K,
在Rt△ADB中,2k2+4k2=5,
∴k= ,
∴AD= .
【解析】(1)连结OC,如图,由AD平分∠EAC得到∠1=∠3,加上∠1=∠2,则∠3=∠2,于是可判断OD∥AE,根据平行线的性质得OD⊥CE,然后根据切线的判定定理得到结论;(2)由△CDB∽△CAD,可得 = = ,推出CD2=CBCA,可得(3 )2=3CA,推出CA=6,推出AB=CA﹣BC=3, = = ,设BD= K,AD=2K,在Rt△ADB中,可得2k2+4k2=5,求出k即可解决问题.
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【题目】阅读下面材料
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形;
求作:菱形AECF,使点E,F分别在BC,AD上.
小凯的作法如下:
(1)连接AC;
(2)作AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于E,F.
(3)连接AE,CF
所以四边形AECF是菱形.
老师说:“小凯的作法正确”.
回答问题:
已知:在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上______________________________________________.(补全已知条件)
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为( )
A.6B.8C.10D.12
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【题目】如图,在每个小正方形边长为1的方格纸中,△ABC的顶点都在方格纸格点上
(1)画出△ABC向右平移4格, 再向上平移1格后的△A1B1C1;
(2)图中BC与B1C1的关系是 ;
(3)图中△ABC的面积是
(4)请在AB上找一点D,使得线段CD平分△ABC的面积,在图上作出线段CD.
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【题目】如图,AB与⊙O相切于点C,OA,OB分别交⊙O于点D,E, =
(1)求证:OA=OB;
(2)已知AB=4 ,OA=4,求阴影部分的面积.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,PB与⊙O相切于点B,连接PA交⊙O于点C,连接BC.
(1)求证:∠BAC=∠CBP;
(2)求证:PB2=PCPA;
(3)当AC=6,CP=3时,求sin∠PAB的值.
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【题目】已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=,点D是斜边AB的中点,点E是边AC上一点,则DE+BE的最小值为( )
A. 2
B.
C.
D.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若AB=4+ ,BC=2 ,求⊙O的半径.
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