Question

已知：AB是⊙中长为4的弦，P是⊙O上一动点，cos∠APB＝．问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形？若不存在，试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积．

Answer 1

答案：
解析：

存在．∵AB不是直径(否则∠APB＝，而由cos∠APB＝知∠APB＜，矛盾)．∴取优弧的中点为P点，过P作PD⊥AB于D，则PD是圆上所有的点中到AB距离最大的点．∵AB的长为定值，∴当P为优弧的中点时，△APB的面积最大．连接PA、PB，则等腰三角形APB即为所求． 　　由作法知：圆心O必在PD上．如图所示．连接AO，则由垂径定理得AD＝AB＝2．又∠AOD＝∠1＋∠2，而∠2＝∠3，∠1＝∠2故∠AOD＝∠2＋∠1＝∠2＋∠3＝∠APB，即cos∠AOD＝，∴cos∠AOD＝＝，设OD＝x，OA＝3x，则AD＝＝2x，即2x＝2，故x＝＝．∴AO＝3x＝，OD＝x＝．∴PD＝OP＋OD＝OA＋OD＝＋＝2，∴S△APB＝AB·PD＝×4×2＝4．