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    如图，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=10cm．点O以2cm/s的速度在直线BC上从左向右运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点O在△ABC的左侧，OC=5cm．以点O为圆心、cm长度为半径r的半圆O与直线BC交于D、E两点
    （1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
    （2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

    【答案】分析：（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点E与点C重合时，AC与半圆相切，②当点O运动到点C时，AB与半圆相切，③当点O运动到BC的中点时，AC再次与半圆相切，④当点O运动到B点的右侧时，AB的延长线与半圆所在的圆相切．分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间．
    （2）在1中的②，③中半圆与三角形有重合部分．在②图中重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，故可根据扇形的面积公式求解．在③图中，所求重叠部分面积为=S△POB+S扇形DOP．
    解答：解：（1）①如图1，当点E与点C重合时，
    ∵AC⊥DE，OC=OE=cm，
    ∴AC与半圆O所在的圆相切，
    ∵原来OC=5，
    ∴点O运动了（5-）cm，
    ∵点O以2cm/s的速度在直线BC上从左向右运动，
    ∴运动时间为：t=，
    t=2（秒），
    ∴当t=2时，△ABC的边AC所在直线与半圆O所在的圆相切，
    ②如图2，经过t秒后，动圆圆心移动的为2t，而原来OB=OC+BC=15，此时动圆圆心到B的距离为（15-2t），
    此时动圆圆心到AB的距离为（30度角所对的直角边等于斜边的一半），
    而此时圆的半径是t，
    则可得：=t，
    解得：t=5．
    ③如图3，当圆与AC相切时，2t-5=t，解得：t=秒；
    ④如图4，当点O运动到B点的右侧，OB=2t-5-BC=2t-15，
    ∵在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，
    ∴OQ=OB=（2t-15）=t-，
    圆O的半径是t，则t-=，解得：t=15．
    总之，当t为2s，10s，s，15s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切．


    （2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图②与③所示的两种情形．
    ①如图②，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为5cm的扇形，所求重叠部分面积为：S扇形EOM=π×52=π（cm2）
    ②图③，当圆O与AC相切时，半径长是×=，
    则半圆O在△ABC的内部，因而重合部分就是半圆O，则面积是：π（）2=．
    点评：本题利用了直线与圆相切的概念，扇形的面积公式，直角三角形的面积公式，锐角三角函数的概念求解．
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    t    cm长度为半径r的半圆O与直线BC交于D、E两点
    （1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
    （2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
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    （1）当x=3时，如图（2），S=
     
    cm2，当x=6时，S=
     
    cm2，当x=9时，S=
     
    cm2；
    （2）当3＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；
    （3）当6＜x＜9时，求S关于x的函数关系式；
    （4）当x为何值时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
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    (1)当x＝3时，如图(2)，S＝________cm2，

    当x＝6时，S＝________cm2，

    当x＝9时，S＝________cm2；

    (2)当3＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；

    (3)当6＜x＜9时，求S关于x的函数关系式；

    (4)当x为何值时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

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    （1）当x=3时，如图（2），S=______cm2，当x=6时，S=______cm2，当x=9时，S=______cm2；
    （2）当3＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；
    （3）当6＜x＜9时，求S关于x的函数关系式；
    （4）当x为何值时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切？


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