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在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且c=5
3
,若关于x的方程(5
3
+b)x2+2ax+(5
3
-b)=0有两个相等的实数根,又方程2x2-(10sinA)x+5sinA=0的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.
分析:在与一元二次方程有关的求值问题中,必须满足下列条件:(1)二次项系数不为零;(2)有相等的实数根必须满足△=b2-4ac=0.根据根与系数的关系求出∠A的正弦,运用三角函数及勾股定理求出a,b的长度,从而求出△ABC的面积.
解答:解:∵方程(5
3
+b)x2+2ax+(5
3
-b)=0有相等实数根,
∴△=(2a)2-4(5
3
+b)(5
3
-b)=0.
得a2+b2=75.
∵C2=75,∴a2+b2=c2
故△ABC是直角三角形,且∠C=90°.                         (2分)
设x1、x2是2x2-(10sinA)x+5sinA=0的两实数根,
则x1+x2=5sinA,x1•x2=
5
2
sinA.
∵x12+x22=6,而x12+x22=(x1+x22-2x1•x2
∴(5sinA)2-5sinA-6=0.
解得sinA=
3
5
,或sinA=-
2
5
(舍去).                         (5分)
在Rt△ABC中,
C=5
3
,a=c•sinA=3
3
,b=
c2-a2
=4
3

故S△ABC=
1
2
ab=18.                                        (8分)
点评:本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.同时考查了三角函数及勾股定理.
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23、如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,点E在BC上,EF⊥AB,垂足为F.
(1)CD与EF平行吗?为什么?
(2)如果∠1=∠2,且∠3=115°,求∠ACB的度数.

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在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE.
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(1)如图1.连接BE、CD,BE与CD交于点O,
①证明:DC=BE;
②∠BOC=
 
°. (直接填答案)
(2)如图2,连接DE,交AB于点F.DF与EF相等吗?证明你的结论.

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18、如图,在△ABC中,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E、已知△ABC中与△ABD的周长分别为18cm和12cm,则线段AE的长等于
3
cm.

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在△ABC中,∠C=90°,BC=12,AB=13,则tanA的值是(  )
A、
5
12
B、
12
5
C、
12
13
D、
5
13

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在△ABC中,a=
2
,b=
6
,c=2
2
,则最大边上的中线长为(  )
A、
2
B、
3
C、2
D、以上都不对

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