Question

18．已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．
求证：（1）FD=CG；
（2）CG²=FG•FC．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得到∠FAD=∠B，根据全等三角形的性质得到FD=EA，于是得到结论；
（2）根据菱形的性质得到∠DCF=∠BFC，根据平行线的性质得到∠BAE=∠BFC，根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠FDA，等量代换得到∠DCF=∠FDA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠FAD=∠B，
在△ADF与△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=BE}\\{∠FAD=∠B}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BAE，
∴FD=EA，
∵CF∥AE，AG∥CE，
∴EA=CG，
∴FD=CG；

（2）∵在菱形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DCF=∠BFC，
∵CF∥AE，
∴∠BAE=∠BFC，
∴∠DCF=∠BAE，
∵△ADF≌△BAE，
∴∠BAE=∠FDA，
∴∠DCF=∠FDA，
又∵∠DFG=∠CFD，
∴△FDG∽△FCD，
∴$\frac{FD}{FC}=\frac{FG}{FD}$，FD²=FG•FC，
∵FD=CG，
∴CG²=FG•FC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．