Question

19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，CD⊥AB，垂足为D，点E是点D关于AC的对称点，连接AE，CE．

（1）求CD和AD的长；
（2）若将△ACE沿着射线AB方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点A沿AB方向所经过的线段长度），当点E平移到线段AC上时，求m的值；
（3）如下图，将△ACE绕点A顺时针旋转-个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ACE为△AC′E′，在旋转过程中，设C′E′所在的直线与直线BC交于点P，与直线AB交于点Q，若存在这样的P，Q两点，使△BPQ为等腰三角形，直接写出此时AQ的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理和三角形ABC的面积的两种算法直接求解；
（2）平移到点D到AC时，点A到D的位置，根据平移的性质直接求解；
（3）根据题意画出满足条件的图形，根据勾股定理和等腰三角形的性质直接求解．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AC=15，BC=20，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=25，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$
∵CD⊥AB，
∴CD=$\frac{AC×BC}{AB}$=12，
根据勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=9，
（2）如图1，

∵点E是点D关于AC的对称点，
∴DE⊥AC，AE=AD，
∵点E落在AC上，
∴点A落在点D位置，
由平移的性质，EF=AD=m，
（3）由（1）得，AE'=AD=9，
在Rt△AEC中，AC=15，
∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=12，
①旋转的过程中，C'E'和线段BC相交，AB的延长线相交时，
如图2，

由旋转得，AC'=AC=15，∠CAE'=∠BAC'，
∵∠AE'C'=∠C=90°，∠AFE'=∠PFC，
∴∠CAE'=∠CPF，
∴∠BAC'=∠CPF，
∵∠CPF=∠BPQ，
∴∠BAC'=∠BPQ，
∵△BPQ为等腰三角形，且∠CBQ是钝角，
∴BP=BQ，
∴∠BPQ=∠BQP，
∴∠BAC'=∠BQP，
∴C'Q=AC'=15，
在Rt△AE'Q中，AE'=AE=AD=9，E'Q=EC+C'Q=E'C'+AC'=12+15=27，
∴AQ=$\sqrt{AE{'}^{2}+E'{Q}^{2}}$=9$\sqrt{10}$，
②如图3，

∵△BPQ为等腰三角形，
∴∠PBQ=∠BPQ，
∵∠BPQ+∠E'FA=90°，∠E'AF+∠E'FA=90°，
∴∠E'AF=∠ABC，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$
∵tan∠E'AF=$\frac{E'F}{AE'}$=$\frac{E'F}{9}=\frac{3}{4}$，
∴E'F=$\frac{27}{4}$，
根据勾股定理得，AF=$\frac{45}{4}$，∴CF=AC-AF=15-$\frac{45}{4}$=$\frac{15}{4}$，
在Rt△CPF中，tan∠BPQ=$\frac{CF}{PC}=\frac{3}{4}$，∴PC=$\frac{4}{3}$CF=5，∴BP=BC+PC=25，PF=$\sqrt{P{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{25}{4}$
∴PG=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{25}{2}$，∵CF∥QG，∴$\frac{PF}{PQ}=\frac{PC}{PG}$，∴$\frac{\frac{25}{4}}{PQ}=\frac{5}{\frac{25}{2}}$，∴PQ=$\frac{125}{8}$，
∴AQ=AB-BQ=AB-PQ=$\frac{75}{8}$，
③如图4，

旋转的过程中，C'E'和线段BC，AB相交时，
Ⅰ、当∠BQP=∠PBQ时，
∵∠PBQ=∠AC'E'，∠BQP=∠AQC'，
∴∠AC'E'=∠AQC'，
∴AQ=AC'=AC=15，
Ⅱ、当∠BPQ=∠BQP时，
∵∠BPQ=∠AC'E'，
∴∠C'AQ=∠C'QA，
∴C'Q=C'A=15，
∴QE'=C'Q-C'E'=15-12=3，
根据勾股定理得，AQ=$\sqrt{AE{'}^{2}+E'{Q}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
即满足条件的AQ的长为9$\sqrt{10}$，$\frac{75}{8}$，15，3$\sqrt{10}$．

点评 .此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是用等腰三角形的性质求AQ，根据题意画出图形是本题的难点．