Question

△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
（1）如图1，若∠A=70°，求∠E的度数；
（2）如图2，若∠A=90°，求∠E的度数；
（3）如图3，若∠A=130°，求∠E的度数；
根据上述结果，你能得到什么样的一般性结论？

Answer 1

分析：由△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，根据角平分线的性质，可得∠ECD=

1

2

∠ACD，∠EBC=

1

2

∠ABC，然后利用三角形外角的性质，即可求得：∠ECD=

1

2

∠ACD=

1

2

∠A+∠EBC，∠E=∠ECD-∠EBC，则可求得∠E=

1

2

∠A；则可将（1）∠A=70°，（2）∠A=90°，（3）∠A=130°分别代入求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=

1

2

∠ACD，∠EBC=

1

2

∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=

1

2

∠ACD=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=

1

2

∠A+∠EBC-∠EBC=

1

2

∠A，
∵∠A=70°，
∴∠E=35°；

（2）∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=

1

2

∠ACD，∠EBC=

1

2

∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=

1

2

∠ACD=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=

1

2

∠A+∠EBC-∠EBC=

1

2

∠A，
∵∠A=90°，
∴∠E=45°；

（3）∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=

1

2

∠ACD，∠EBC=

1

2

∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=

1

2

∠ACD=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=

1

2

∠A+∠EBC-∠EBC=

1

2

∠A，
∵∠A=130°，
∴∠E=65°．

结论：∠E=

1

2

∠A．
理由：∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=

1

2

∠ACD，∠EBC=

1

2

∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=

1

2

∠ACD=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=

1

2

∠A+∠EBC-∠EBC=

1

2

∠A．

点评：此题考查了三角形的外角的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解此题的关键是注意数形结合思想与整体思想的应用．