Question

（本题满分10分）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；

（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.

①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？

若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；

②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？

 

 

Answer 1

【答案】

 

 

（1）菱形（证明略）---------------3分

（2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：

由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S_△PBO＝ S_△QEO，

∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6，

又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，

∴S_{四边形PQED}＝S_△QEO＋S_{四边形POED}＝S_△PBO＋S_{四边形POED}＝S_△BED

＝×BE×ED＝×8×6＝24. ---------------6分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，

∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，

即∠2＝∠1，∴OP=OC=3，  过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，

∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=，

∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.

∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10，x＝.---------------10分

【解析】本题主要考查菱形的有关知识，有一定难度。