Question

19．若x³-2x²+ax+b除以（x-2）（x+1）所得的余数为2x+1，则a、b的值为（　　）

• A． a=1，b=-3
• B． a=-1，b=-3
• C． a=-1，b=3
• D． a=1，b=3

Answer 1

分析 由题意，可知（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）能够被（x-2）（x+1）整除，即（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）含有因式（x-2）（x+1）．则当x=2和x=-1时，（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）=0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，即可求出a、b的值．

解答 解：∵x³-2x²+ax+b除以（x-2）（x+1）的余式为2x+1，
∴（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）含有因式（x-2）（x+1）．
当x=2时，（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）=（8-8+2a+b）-（4+1）=2a+b-5=0 ①
当x=-1时，（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）=（-1-2-a+b）-（-2+1）=-a+b-2=0 ②
②-①，得-3a+3=0，
∴a=1．
把a=1代入①，得b=3．
故选：D．

点评 本题主要考查了整式乘除法与因式分解的关系，待定系数法在因式分解中的应用，属于竞赛题型，有一定难度．本题的关键是能够通过整式乘除法与因式分解的关系得出（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）含有因式（x-2）（x+1），从而运用待定系数法得出x=2和x=-1时，多项式（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）的值均为0，进而列出方程组，求出a、b的值．