Question

如图，三个半径都为6cm的等圆两两外切，并且△ABC的每一边都与其中两个圆相切，则△ABC的周长为

 

 cm．

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：

分析：设与AB相切的两个圆为⊙O、⊙P，设切点为E、F，连接OA、OP、QB、OE、PF；在Rt△OAE中，根据⊙O的半径和∠BAO的度数可求得AE的长，同理可得BF的值，而⊙O、⊙P外切，那么EF（即OP）为两圆的半径和，由此可求得等边三角形的边长，进而可求得其周长．

解答：解：如图，∵连接AO、OP、PB、OE、PF、ON；
∴根据相切两圆性质得出OP=PN=ON=12cm，
∴△ONP是等边三角形，
∴∠OPN=∠PON=∠ONP=60°，
∵根据切线性质得出OE⊥AB，PF⊥AB，
∴OE∥PF，OE=PF，
∴四边形OEFP是矩形，
∴OP∥AB，
同理PN∥BC，ON∥AC，
则∠OPN=∠ABC=60°，∠PON=∠BAC=60°
根据切线长定理∠ABP=

1

2

∠ABC=30°，∠EAO=30°，
在Rt△AOE中，∠EAO=30°，OE=6cm；
则AE=6

3

cm，同理可得BF=6

3

cm；
由于⊙O、⊙P外切，所以OP=12cm；
故AB=AE+EF+BF=6

3

+6

3

+12=12

3

+12，
根据切线长定理可得，AB=BC=AC，
因此△ABC的周长为：3（12

3

+12）=36

3

+36，
故答案为：（36

3

+36）．

点评：此题主要考查了相切两圆的性质、等边三角形的性质以及解直角三角形的应用，正确的构造直角三角形是解决此类问题的关键．