Question

8．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2与x轴交于A、B，与y轴交于点C，将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线交于点D，求证：∠BDA=45°．

Answer 1

分析 如图，过点B作BE⊥AD于点E．由二次函数图象上点的坐标特征求得点A、B、C的坐标，然后利用待定系数法和二次函数与一次函数交点得到点D的坐标，所以通过证明△BED为等腰三角形即可证得结论．

解答 证明：如图，作DF⊥x轴于点F，作BE⊥AD于点E．
y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x+1），则A（-1，0），B（4，0），
令x=0，则y=2，
故C（0，2）．
易求直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线交于点D，
∴设直线AD的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+b．
把点C的坐标代入，得
b=-$\frac{1}{2}$，
则直线AD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-3}\end{array}\right.$（舍去正值），
则D（5，-3）．
∴$\frac{1}{2}$AB×3=$\frac{1}{2}$AD•BE，AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
易得h=BE=$\sqrt{5}$．
在直角△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-{h}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴DE=AD-AE=$\sqrt{5}$，
∴h=DE且BE⊥AD，
∴∠BDA=45°．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，要熟悉抛物线与一次函数图象交点的求法，等腰直角三角形的判定与性质．