Question

已知恒等式：（x²-x+1）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀x¹⁰+a₁₁x¹¹+a₁₂x¹²，则（a₀+a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂）²-（a₁+a₃+a₅+a₇+a₉+a₁₁）²=________．

Answer 1

729
分析：只要把所求代数式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可．
解答：根据平方差公式，
原式=（a₀+a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂+a₁+a₃+a₅+a₇+a₉+a₁₁）（a₀+a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂-a₁-a₃-a₅-a₇-a₉-a₁₁）
=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₁₅+a₁₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇+a₈-a₉+a₁₀-a₁₁+a₁₂）
当x=1时，（1-1+1）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀x¹⁰+a₁₁x¹¹+a₁₂x¹²
=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₁₅+a₁₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂
当x=-1时，（1+1+1）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀x¹⁰+a₁₁x¹¹+a₁₂x¹²
=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇+a₈-a₉+a₁₀-a₁₁+a₁₂
∴原式=1⁶×3⁶=729，
故答案为729．
点评：本题考查了函数值的知识，先根据平方差公式将原式因式分解，再根据式子特点，将1或-1代入求值．