Question

14．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=2AB，△DBC与△AEC都是等边三角形，连结DE交AC于P，求证：PD=PE．

Answer 1

分析 过点D作DQ∥EC交AC于Q，先求出∠ACB=30°，得出∠BAC=60°，由等边三角形的性质得出BC=CD，∠DCB=∠ACE=60°，AC=EC，证出∠DQC=∠BAC，∠QCD=∠ABC，由AAS证明△QCD≌△ABC，得出QD=AC，因此QD=EC，再由AAS证明△PDQ≌△PEC，即可得出结论．

解答 证明：过点D作DQ∥EC交AC于Q，如图所示：
∵∠ABC=90°，AC=2AB，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△BCD和△ACE是等边三角形，
∴BC=CD，∠DCB=∠ACE=60°，AC=EC，
∵DQ∥CE，
∴∠DQC=∠ACE=60°，
∴∠DQC=∠BAC，∠QCD=∠ACB+∠BCD=30°+60°=90°，
∴∠QCD=∠ABC，
在△QCD和△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QCD=∠ABC}\\{∠DQC=∠BAC}\\{CD=BC}\end{array}\right.$，
∴△QCD≌△ABC（AAS），
∴QD=AC，
∴QD=EC，
在△PDQ和△PEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DQP=∠ECP}\\{∠DPQ=∠EPC}\\{QD=EC}\end{array}\right.$，
∴△PDQ≌△PEC（AAS），
∴PD=PE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．