Question

【题目】CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB.E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α.

(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°，则BE___CF;(填“>”,“<”或“=”)；EF，BE，AF三条线段的数量关系是：___.

②如图2,若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件___，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立。

(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并证明。

Answer 1

【答案】（1）①＝，EF＝|BEAF|②添加∠BCA+∠α＝180°，证明见解析（2）EF＝BE＋AF，证明见解析

【解析】

（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；

②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；

（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．

（1）①∵∠BCA＝90，∠α＝90，

∴∠BCE＋∠CBE＝90，∠BCE＋∠ACF＝90，

∴∠CBE＝∠ACF，

∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA；

∴△BCE≌△CAF，

∴BE＝CF；EF＝|CFCE|＝|BEAF|．

故答案为：＝，＝；

②证明：在△BCE中，∠CBE＋∠BCE＝180°∠BEC＝180°∠α．

∵∠BCA＝180°∠α，

∴∠CBE＋∠BCE＝∠BCA．

又∵∠ACF＋∠BCE＝∠BCA，

∴∠CBE＝∠ACF，

又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，

∴△BCE≌△CAF（AAS）

∴BE＝CF，CE＝AF，

又∵EF＝CFCE，

∴EF＝|BEAF|．

（2）猜想：EF＝BE＋AF．

证明过程：

∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA＋∠BCE＋∠ACF＝180°，∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，

∴∠BCE＝∠CAF，

又∵BC＝CA，

∴△BCE≌△CAF（AAS）．

∴BE＝CF，EC＝FA，

∴EF＝EC＋CF＝BE＋AF．

故答案为：EF＝BE＋AF．