Question

如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
⑴ 如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD， 点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
⑵ 如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

Answer 1

（1）MN=AM＋CN，证明见解析（2）MN=CN－AM

解：（1）MN=AM＋CN。证明如下：
如图，∵BC∥AD，AB=BC=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形。
∴∠A+∠BCD=180°。
把△ABM绕点B顺时针旋转到△CBM′，

则AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD=180°。∴点M′、C、M三点共线。
∵∠MBN=∠ABC，
∴∠M′BN=∠M′BC＋∠CBN=∠ABM＋∠CBN=∠ABC－∠MBN=∠ABC。
∴∠MBN=∠M′BN。
在△BMN和△BM′N中，∵ BM="BM′" ，∠MBN=∠M′BN， BN=BN，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），∴MN=M′N。
又∵M′N=CM′＋CN=AM＋CN，∴MN=AM＋CN。
（2）MN=CN－AM。
（1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点M到达点M′，根据旋转变换的性质，可得AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后证明M′、C、N三点共线，再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证。
（2）在∠CBN内部作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，然后证明∠C=∠BAM，再利用“角边角”证明△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，再证明∠MBN=∠M′BN，利用“边角边”证明△MBN和△M′BN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=M′N，从而得到MN=CN-AM：
如图，作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD+∠C=360°－180°=180°。
又∵∠BAD+∠BAM=180°，∴∠C=∠BAM。
在△ABM和△CBM′中，∵∠CBM′=∠ABM′ ，AB="BC" ，∠C=∠BAM，
∴△ABM≌△CBM′（ASA）。∴AM=CM′，BM=BM′。
∵∠MBN=∠ABC，
∴∠M′BN=∠ABC－（∠ABN＋∠CBM′）=∠ABC－（∠ABN＋∠ABM）
=∠ABC-∠MBN=∠ABC。
∴∠MBN=∠M′BN。
在△MBN和△M′BN中，∵BM="BM′" ，∠MBN=∠M′BN， BN=BN，
∴△MBN≌△M′BN（SAS）。∴MN=M′N。
∵M′N=CN－CM′=CN－AM，∴MN=CN-AM。