Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°，BD平分∠ABC．如果这个梯形的周长为30，则AB的长为

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Answer 1

分析：由梯形ABCD中，AD与BC平行，AB=DC，得到此梯形为等腰梯形，进而得到同一底上的两个角相等，再根据两直线平行，同旁内角互补，由∠C的度数，求出∠ADC，∠A及∠ABC的度数，再根据BD为角平分线，得到∠ABD=∠CBD，又因为AD平行于BC，得到内错角相等，等量代换可得∠ABD=∠ADB，利用等边对等角可得AB=AD，同时求出∠DBC的度数，在三角形BDC中，由∠DBC及∠C的度数求出∠BDC为直角，在直角三角形中，∠DBC=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得出BC=2CD，设AB=x，可表示出AD，DC，及BC，进而由周长为30列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为AB的长．

解答：解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴ABCD为等腰梯形，
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°，∠ADB=∠DBC，
∵∠C=60°，
∴∠ADC=∠A=120°，∠ABC=∠C=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=90°，
设AB=AD=CD=x，
在直角三角形BDC中，∠CBD=30°，
∴BC=2DC=2x，
又∵梯形的周长为30，
∴AB+AD+CD+BC=x+x+x+2x=5x=30，
解得：x=6，
则AB=6．
故答案为：6．

点评：此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，角平分线定义，以及含30°角直角三角形的性质，根据题意得出△ABD为等腰三角形及△BDC为直角三角形是解本题的关键．