Question

如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：
（1）当OP=

a

时，△AOP为等边三角形；
（2）当OP=

1

2

a或2a

时，△AOP为直角三角形；
（3）当OP满足

OP＞2a或OP＜

1

2

a

时，△AOP为钝角三角形．

Answer 1

分析：（1）由∠AON=60°，可得当OP=OA=a时，△AOP为等边三角形；
（2）分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得OP的长；
（3）结合（2）的结论，即可求得答案．

解答：解：（1）∵∠AON=60°，
∴当OP=OA=a时，△AOP为等边三角形；

（2）若AP⊥ON，
∵∠AON=60°，
∴OP=OA•cos60°=

1

2

a；
若PA⊥OA，则OP=

OA

cos60°

=2a，
∴当OP=

1

2

a或2a时，△AOP为直角三角形；

（3）由（2）可得：当OP满足OP＞2a或OP＜

1

2

a时，△AOP为钝角三角形．
故答案为：（1）a，（2）

1

2

a或2a，（3）OP＞2a或OP＜

1

2

a．

点评：此题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．