Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．
求证：∠AOC=2∠ACD．

Answer 1

考点：切线的性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：连接BC，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC与CD垂直，得到一对角互余，再由AB为圆O的直径，得到BC与CA垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到∠ACD=∠OCB，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，∠AOC为三角形BOC的外角，利用外角的性质及等量代换得到∠AOC=2∠OCB，等量代换即可得证．

解答：证明：连接BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠ACD=∠OCB，
∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，
∵∠AOC为△BOC的外角，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=2∠OCB，
则∠AOC=2∠ACD．

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．