Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，E为AB的中点，且DE=10cm，则AC=30cm．

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，由等边对等角得出∠ABD=∠A，而BD平分∠ABC，即∠ABD=∠DBC，根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠ABD+∠DBC=90°，求出∠A=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD=2DE=20cm，又角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE=10cm，则AC=AD+DC=30cm．

解答 解：∵DE⊥AB，E为AB的中点，
∴DE是斜边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A，
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠A=∠ABD=∠DBC．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠ABD=∠DBC=30°，
∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠A=30°，DE=10cm，
∴AD=2DE=20cm，
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=10cm，
∴AC=AD+DC=30cm．
故答案为：30cm．

点评 本题考查了在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质求出∠A=30°是解题的关键．