Question

如图，D是射线AB上一点，过点D作DE∥AC，交∠BAC平分线于点E，过点D作DF⊥AE，垂足为F，DF交AC于点G．
（1）按要求在所给图中将图形补全，然后判断四边形ADEG的形状，并证明你的结论；
（2）标出有向线段

AD

、

AF

、

AG

，记向量

AD

=

a

、

AF

=

b

，试用

a

，

b

表示向量

AG

．

Answer 1

分析：（1）根据同位角相等，即可得DE∥AC；在作出∠BAC平分线，在作DF⊥AE，连接各点即可；根据已知易证AD=DE，AD=AG，又由DE∥AC，即可证得平行四边形ADEG为菱形；
（2）由菱形的性质与向量的意义，即可求得

AE

=2

b

，继而求得向量

AG

的值．

解答：解：（1）四边形ADEG为菱形．
证明：∵DE∥AC，
∴∠DEA=∠EAC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DA=DE，
∵DF⊥AE，
∴AF=EF；
在△ADF和△AGF中，∠DAE=∠EAC，AF=AF，∠DFA=∠GFA=90°，
∴△ADF≌△AGF；
∴DF=GF，
∴四边形ADEG为平行四边形；
∵DF⊥AE，
∴平行四边形ADEG为菱形；

（2）∵

AD

=

a

，

AF

=

b

，四边形ADEG为菱形，
根据题意，得：

AE

=2

b

，
∴

DE

=

AE

-

AD

=2

b

-

a

，
∴

AG

=

DE

=-

a

+

2b

．

点评：此题考查了学生的基本作图，以及菱形的判定定理和向量的知识．此题综合性很强，解题时要注意分析与识图．