Question

【题目】如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转60°得到：②点与的距离为4；③；④四边形；⑤．其中正确的结论是（ ）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；

由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB＝150°，故结论③正确；

，故结论④正确；

如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．

解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，

又∵OB＝O′B，AB＝BC，

∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，

故结论①正确；

如图①，连接OO′，

∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，

∴△OBO′是等边三角形，

∴OO′＝OB＝4．

故结论②正确；

∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，

∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，

故结论③正确；

，

故结论④正确；

如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．

易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，

则，

故结论⑤正确．

综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．

故选：D．